Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点以及点A（1，$\sqrt{3}$），圆P与直线l相切于点A，若圆P沿直线l滚动一周，点A恰好与原点重合，此时圆心位于点Q，则点Q的坐标为（　　）

• A． （$\frac{1}{2π}，-\frac{\sqrt{3}}{π}$）
• B． （$\frac{1}{π}，-\frac{\sqrt{3}}{π}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2π}，-\frac{1}{2π}$）

Answer 1

分析 连接PA、QO，则四边形AOQP是矩形，得出QO=PA，PQ=OA，∠AOQ=90°，由A的坐标得出∠AOx=60°，由勾股定理得出PQ=OA=2，由圆的周长得出2π•OQ=2，求出OQ，作QM⊥x轴于M，由含30°角的直角三角形的性质得出QM=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2π}$，求出OM=$\sqrt{3}$QM，即可得出结果．

解答 解：连接PA、QO、OQ，如图所示：
则四边形AOQP是矩形，
∴QO=PA，PQ=OA，∠AOQ=90°，
∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴∠AOx=60°，PQ=OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵圆P沿直线l滚动一周，点A恰好与原点重合，
∴2π•OQ=2，
解得：OQ=$\frac{1}{π}$，
作QM⊥x轴于M，
∵∠QOM=90°-60°=30°，
∴QM=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2π}$，
∴OM=$\sqrt{3}$QM=$\frac{\sqrt{3}}{2π}$，
∴Q的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2π}$，-$\frac{1}{2π}$）；
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质、弧长的计算、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，由勾股定理求出OQ是解决问题的关键．