Question

15．己知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA²+PC²=PB²+PD²．（提示：应分P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，三种情形加以讨论．）

Answer 1

分析 ①根据PA²-PB²=AB²=CD²=PD²-PC²，移项即可；
②过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA²，PC²，PB²，PD²，再比较PA²+PC²与PB²+PD²即可；
③方法同②，根据勾股定理分别求PA²，PC²，PB²，PD²，即可得到结论．

解答 证明：①如图1，P在矩形的边上，
在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA²-PB²=AB²，
同理可得PD²-PC²=CD²，
由矩形的性质可得AB=CD，
∴PA²-PB²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
②P在矩形内，如图2，过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
③P在矩形外，如图3，过P作PF⊥AB于F，交CD于E，
则PE⊥CD，
∴四边形AFED与四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE，AF=DE，
由勾股定理得：
则AP²=AF²+PF²，PC²=PE²+CE²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AF²+PF²+PE²+CE²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评 本题考查了勾股定理及矩形的性质．关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理分别表示边长的平方．