Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（0，-），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+bx+c的顶点是（0，-），
∴抛物线的对称轴是y轴，
∴b=0，故可设抛物线的解析式是：y=ax²-，
又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO=
∴AO=1，∴A（-1，0）
把点A代入y=ax²-，得a=
∴抛物线的解析式是y=x²-．

（2）当0＜t＜1时，OT=1-t，CS=t；
∴S=OT•CS=（1-t）t=-t²+t；
当1＜t＜2时，OT=t-1，CS=t；
∴S=OT•CS=（t-1）t=t²-t；
综上，S与t的函数关系式为：S=．

（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB=TE，又∠B=60度，
∴三角形TBE为等边三角形，
∴BE=TB=t，
∵△SDH∽△STO，设DH=a，
则有，即，
∴a=，∴DC=1-t，
∴DE=CB-EB-DC=2-t-（1-t）=1．
当1＜t＜2，（如图2）
同理，△SDH∽△STO，即有，a=，DC=t-1，
∴DE=DC+CE=t-1+（2-t）=1．
分析：（1）已知△ABC是等边三角形，且OC⊥AB，根据OC的长和等边三角形的特点即可求得OA、OB的长，由此得到A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）△TCS的面积可由（•OT•CS）求得，用t表示出OT、CS的长即可（注意t在不同的取值范围内，T的位置）．
（3）由题意，易知TB、TE都是⊙T的半径，所以△TBE是等边三角形，显然有TB=TE=t，然后过D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形可求得CD的长，然后利用线段间的和差关系来判断DE的长是否为定值．
点评：题目主要考查了函数解析式的确定、等边三角形的性质、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识点；后两题在解答过程中，一定要注意t的不同取值范围内点T的位置．