Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）²＞b²；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有

 

（填上正确结论的序号）．

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向向上得到a＞0，由对称轴为x=-

b

2a

=1，得2a+b=0，从而确定b＜0，由此确定①正确；
由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴得到c＜0，进一步得到2a+b-c=-c＞0，由此判定③正确；
由于当x=1时，y=a+b+c＜0，当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，由此即可推出3b＜2c，由此判定④正确；
根据题意得到a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，即（a+b+c）（a-b+c）＜0，可推出②错误．

解答：解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x=-

b

2a

=1，得2a+b=0，2a=-b，
∴a、b异号，即b＜0，
∴①正确；

∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴2a+b-c=-c＞0，
∴③正确；

∵当x=1时，y=a+b+c＜0，
∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴2a-2b+2c＞0，
∴-b-2b+2c＞0，
∴3b＜2c，
∴④正确；

∵a+b+c＜0，a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）²-b²＜0，②错误．
正确答案：①③④．
故填答案：①③④．

点评：二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b²-4ac＞0；
②1个交点，b²-4ac=0；
③没有交点，b²-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号；
（6）由对称轴公式x=-

b

2a

，可确定2a+b的符号．