Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．

Answer 1

解：连接OD、OE．
则OD=OE=1，
∵O是△ABC的内切圆圆心
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
即且
又∵∠ACB=90°，∴，
∵OD、OE是过切点的半径，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
，
∴，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+
在Rt△ABC中，
AB=2+2，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE==，
∴AE=2+．
分析：首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．
点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．