Question

【题目】如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．

（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

（2）求证：BE=EC；

（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠DCA=∠BDE．（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需证明△DCA≌△△EDG即可解决问题．

（3）过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cosα．过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，易证△DCA≌△△EDG，则有DA=EG，CA=DG=1．易证△ADF∽△GDE，则有．由DF=kFE可得DE=EF-DF=（1-k）EF．从而可以求得AD=,即GE=，易证△ABC∽△GBE，则有，从而可以求出BE．

试题解析：（1）∠DCA=∠BDE．

证明：∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，

则有∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG．

∴DG=AB．

∴DA=BG．

∵AF∥EG，DF=EF，

∴DA=AG．

∴AG=BG．

∵EG∥AC，

∴BE=EC．

（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，

∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA="DG"

∴DG=AB=1．

∵AF∥EG，

∴△ADF∽△GDE．

∴

∵DF=kFE，

∴DE=EF-DF=（1-k）EF．

∴．

∴AD=

∴GE=AD=

过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，

∵AB="AC，AH⊥BC，"

∴BH="CH．"

∴BC="2BH．"

∵AB="1，∠ABC=α，"

∴BH=ABcos∠ABH="cosα．"

∴BC="2cosα．"

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GB．

∴．

∴．

∴BE=．

∴BE的长为．