Question

4．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．
（1）y=$\frac{2}{3}{x^2}$-6x
（2）y=2x²-12x+18．

Answer 1

分析 （1）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可；
（2）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可．

解答 解：（1）∵a=$\frac{2}{3}$，b=-6，c=0，
∴b²-4ac=36＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点．
令y=0，则$\frac{2}{3}$x²-6x=0，
解得：x=0或9．
则与x轴的交点是（0，0）和（9，0）；
（2）∵a=2，b=-12，c=18，
∴b²-4ac=（-12）²-4×2×18=0，
∴二次函数与x轴只有一个交点．
令y=0，则2x²-12x+18=0，
解得：x=3，
则与x轴的交点是（3，0）．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；
二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．