Question

【题目】如图,正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连接DQ.给出如下结论:

①DQ=1;②=;③S△PDQ=;④cos ∠ADQ=.其中正确结论是____.(填写序号)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】（1）如图1，连接OQ、OD，由题中条件易证四边形OBPD是平行四边形，从而可得DO∥PB，结合OQ=OB可证得∠AOD=∠QOD，从而可证△AOD≌△QOD，所以DQ=AE=1，故①成立；

（2）如图2，连接AQ，由已知易得CP=，由勾股定理可得BP，再证△ABQ∽△BPC，由相似三角形的性质可求得BQ=，从而可得PQ=PB-BQ=，所以，故②成立；

（3）如图3，过点Q作QH⊥CD于点H，易证△PQH∽△PBC，由相似三角形的性质结合（2）中结论可解得QH=，从而可得S△DPQ=DPQH=，故③错误；

（4）如图4，过点Q作QN⊥AD于点N，则易得AB∥NQ∥DP，由平行线分线段成比例定理可得：，即，解得DN=，所以cos ∠ADQ=.故④正确；

综上所述，正确的结论是① ② ④ .