Question

13．如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①x=$\frac{1}{2}$时，EF+GH＞AC； 
②六边形AEFCHG面积的最大值是3；
③六边形AEFCHG周长的值为定值．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 （1）由△BEF∽△BAC，得出EF=$\frac{3}{4}$AC，同理得出GH=$\frac{1}{4}$AC，从而得出结论；
（2）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值；
（3）根据六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解即可．

解答 解：正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC，
同理，GH=$\frac{1}{4}$AC，
∴EF+GH=AC，①不正确；
六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．
∵AE=x，
∴六边形AEFCHG面积=2²-$\frac{1}{2}$BE•BF-$\frac{1}{2}$GD•HD=4-$\frac{1}{2}$×（2-x）•（2-x）-$\frac{1}{2}$x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故②结论正确；
∵EF+GH=AC，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$，
故六边形AEFCHG周长的值不变，
故③结论正确．
故选：C．

点评 此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．