Question

【题目】综合题。
（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C=40°，∠B=60°，求：①∠CAE的度数；②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C=α，∠B=β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图（1）．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，

∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°，

而AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ∠BAC= ×80°=40°，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°；

（2）解：如图2中，作AH⊥BC于H．

由（1）可知∠HAE=10°，

∵AH∥EF，

∴∠DFE=∠HAE=10°

（3）解：结论：∠DFE= （∠B﹣∠C）．理由如下：

如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．

∵∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C），

∴∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）

= （∠B﹣∠C），

∵AH∥FD，

∴∠DFE=∠HAE，

∴∠DFE= （∠B﹣∠C）．

【解析】（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE=∠BAE﹣∠BAD即可解决问题．（2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE=∠HAE即可．（3）结论：∠DFE= （∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）= （∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE=∠HAE，即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．