Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC=∠CAD．
（1）若∠ABC=20°，则∠OCA的度数为______；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若OD⊥AB，BC=5，AB=8，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）连接OA，
∵∠ABC=20°，
∴∠AOC=2∠ABC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OCA==70°；

（2）相切．
理由如下：法一：连接OA，
则∠ABC=∠AOC，
在等腰△AOC中，∠OAC=90°-∠AOC，
∴∠OAC=90°-∠ABC．
∵∠ABC=∠CAD，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°-∠ABC+∠ABC=90°，
即OA⊥AD，而点A在⊙O上，
∴直线AD与⊙O相切．
法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ECA=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°．
又∵∠ABC=∠AEC，∠ABC=∠CAD，
∴∠EAC+∠CAD=90°．
即OA⊥AD，而点A在⊙O上，
∴直线AD与⊙O相切．

（3）设OD与AB的交点为点G．
∵OD⊥AB，
∴AG=GB=AB=×8=4．AC=BC=5，
在Rt△ACG中，GC==3．
在Rt△OGA中，设OA=x，由OA²=OG²+AG²，
得x²=（x-3）²+4²，．
解得x=，
即⊙O的半径为．                   
故答案为：70°．
分析：（1）连接OA，由圆周角定理可得∠AOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OCA的度数；
（2）连接OA，由圆周角定理可得∠AOC的度数，又由等腰三角形的性质，继而求得∠OAD的度数，继而证得直线AD与⊙O的位置关系；
（3）设OD与AB的交点为点G，由垂径定理可求得AG的长，然后由勾股定理可得在Rt△OGA中，设OA=x，由OA²=OG²+AG²，得x²=（x-3）²+4²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．