Question

16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出函数值不小于3时自变量的取值范围；
（3）N是x轴上任意一点，当△NBC为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件N点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，由点A的坐标（2，0），点C的坐标为（0，3），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先求得当y=3，即-$\frac{3}{8}$ （x+1）²+$\frac{27}{8}$=3时，即可求得x的值，继而求得函数值不小于3时自变量的取值范围；
（3）首先根据抛物线的对称性，求得点B的坐标，继而求得BC的长，然后分别从BC=BN，BC=CN，BN=CN去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A的坐标（2，0），点C的坐标为（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{k=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{8}$ （x+1）²+$\frac{27}{8}$；

（2）∵当y=3时，-$\frac{3}{8}$ （x+1）²+$\frac{27}{8}$=3，
解得：x₁=-2或x₂=0，
∴函数值不小于3时自变量的取值范围为：-2≤x≤0；   

（3）∵根据抛物线的对称性可得：B（-4，0），
∴OC=3，OB=4，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴若BN=BC=5，则点N（-9，0），（1，0）；
若BC=CN，则ON=OB=4，
∴点N的坐标为：（4，0）；
若BN=CN，如图，作BC的垂直平分线MN，交x于点N，交BC于点M，
则△BMN∽△BOC，BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BO}$，
即$\frac{BN}{5}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
解得：BN=$\frac{25}{8}$，
∴ON=OB-BN=$\frac{7}{8}$，
∴点N（-$\frac{7}{8}$，0）；
综上所述：点N的坐标为：（-9，0）；（4，0）；（1，0）；（-$\frac{7}{8}$，0）．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、抛物线的对称性以及等腰三角形的性质．注意根据题意作出对应的图形是关键．