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    19．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为8．

    分析 连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．

    解答 解：连接AD交EF与点M′，连结AM．

    ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
    ∴AD⊥BC，
    ∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×AD=12，解得AD=6，
    ∵EF是线段AB的垂直平分线，
    ∴AM=BM．
    ∴BM+MD=MD+AM．
    ∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
    ∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．

    点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．阅读下列材料解决问题：
    若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数减去原数个位数的2倍，如果差能被7整除，则原数能被7整除．如果不易看出能否被7整除，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．特别的：零能够被任何非零数整除．
    例如：判断133能否被7整除的过程如下：13-3×2=7，∵7能被7整除，∴133能被7整除；
    判断6139能否被7整除的过程如下：613-9×2=595，59-5×2=49，∵49能被7整除，所以6139能被7整除
    （1）请用上面的方法分别判断397和1708能否被7整除，并说明理由
    （2）有一个百位数字为1的三位整数，它能够被7整除；将这个三位数的百位数字和个位数字交换后所产生的新三位整数仍能被7整除，求这个三位整数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a），半径为2，直线y=-x与⊙P相交于A、B两点，若弦AB的长为2$\sqrt{3}$，则a的值是（　　）
    A．-2$\sqrt{2}$B．-2+$\sqrt{2}$C．-2-$\sqrt{3}$D．-2-$\sqrt{2}$

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．（1）阅读理解：
    我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．
    下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
    第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；
    第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；
    第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
    请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BQ、BP．
    （2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：
    ∵PQ=QR，BQ⊥PR，
    ∴BP=BR．线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等
    ∴∠RBQ=∠PBQ．
    ∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
    ∴∠PBQ=∠PBT．
    （角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
    ∴∠RBQ=∠QBP=∠PBT．
    （3）在（1）的条件下探究：
    ∠ABS=$\frac{1}{3}$∠ABC是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中∠ABC的外部画出∠ABV=$\frac{1}{3}$∠ABC（无需写画法，保留画图痕迹即可）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．如图，正六边形ABCDEF，连结AC，求作点P，Q使它们成为AC的三等分点，下列作法正确的是（　　）
    ①取AB，BC的中点M，N，再分别以A，C为圆心，以AM，CN的长为半径画弧，交AC于点P，Q
    ②连结 BF，BD，分别交AC于点P，Q
    ③连结BE交AC于点H，分别取AH，CH的中点P，Q
    ④作AB，BC的中垂线分别交AC于点P，Q．
    A．①②B．②③C．②④D．③④

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移|a|格（当a为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移|b|格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为（a，b），例如在图1中，从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，-3）．
    请回答下列问题：
    （1）如图1，若点A的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A运动过的总路程．
    （2）若点A运动的路线依次为：A→M（+2，+3），M→N（+1，-1），N→P（-2，+2），P→Q（+4，-4）．请你依次在图2上标出点M，N，P，Q的位置．
    （3）在图2中，若点A经过（m，n）得到点E，点E再经过（p，q）后得到Q，则m与p满足的数量关系是m+p=5；n与q满足的数量关系是n+q=0．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图所示，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：
    （1）AB=AC；
    （2）AD=AE；
    （3）BE=CD；
    （4）∠DAM=∠EAN．
    以其中3个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，1个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．
    已知：AB=AC，AD=AE，BE=CD；
    求证：∠DAM=∠EAN．

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    8．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，且BC∥QR，则∠AOQ的度数为（　　）
    A．45°B．60°C．75°D．90°

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    9．已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
    A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$C．$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$D．2

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