Question

10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a），半径为2，直线y=-x与⊙P相交于A、B两点，若弦AB的长为2$\sqrt{3}$，则a的值是（　　）

• A． -2$\sqrt{2}$
• B． -2+$\sqrt{2}$
• C． -2-$\sqrt{3}$
• D． -2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC，根据点P的坐标可得⊙P的半径PC为2，连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理可求出AD，在Rt△ADP中，运用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，运用三角函数可求出PE，就可求出a的值．

解答 解：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．
∵点P的坐标为（2，a），
∴PC=2．
①若点P在直线y=x上方，如图1，
连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．
∵CE⊥OC，CE=OC，
∴∠COE=∠CEO=45°．
过点P作PD⊥AB于D，
由垂径定理可得：AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△ADP中，
PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED=$\frac{PD}{PE}$=$\frac{1}{PE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：PE=$\sqrt{2}$．
∴OC=CE=CP+PE=2+$\sqrt{2}$．
∴a=-2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，是一道易错题．