Question

18．如图△ABC中，∠ACB=90°，AC+BC=8，分别以AB、AC、BC为半径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由图示知，S_阴影=以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积-以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积．据此列出y与x的函数关系式，根据函数关系式选择相应的图象．

解答 解：∵AC+BC=8，AC=x，
∴BC=8-x．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{x}^{2}+（8-x）^{2}}$．
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$π×（$\frac{x}{2}$）²+$\frac{1}{2}$π×（$\frac{8-x}{2}$）²-$\frac{1}{2}$π×（$\frac{\sqrt{{x}^{2}+（8-x）^{2}}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$x（8-x）=$\frac{1}{2}$x²+4x，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x（0＜x＜8）．
则该函数图象是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0＜x＜8．
故选：A．

点评 本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．