Question

8．如图，抛物线y=ax²+ax-6a与x轴交于A、B两点（B在A右侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B两点坐标；
（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求抛物线及直线AD的解析式；
（3）若点G、C关于x轴对称，直线GB交（2）中直线AD于点K，M、N分别为直线AC和直线AK上的两个动点，连接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用x轴上点的坐标特征直接确定出点A，B坐标；
（2）先判断出AC=AB=4，进而求出点C的坐标，用待定系数法求出抛物线和直线AD的解析式；
（3）先确定出CN+NM+MK的最小值时，点M，N的位置，再确定出直线交点坐标K，最后利用中点坐标公式确定出点Q坐标，即可求出BQ．

解答 解：（1）∵y=ax²+ax-6a=a（x²+x-6）=a（x+3）（x-2）=0，
∴x=-3或x=2，
∵B在A右侧，
∴A（-3，0），B（2，0）；

（2）如图1，由（1）知，A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∵AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，
∴AC=AB=5，
根据勾股定理得，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=4，
∴C（0，4），
∵点C在抛物线y=ax²+ax-6a上，
∴-6a=4，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+4，
∵AC=AB，AD⊥CB，
∴BD=CD，
∴点D是BC中点，
∵B（2，0），C（0，4），
∴D（1，2），
∵A（-3，0），
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；

（3）如图2，作出点K关于直线AC的对称点Q，连接QB交AC于M，AK于N，
∴MQ=MK，
∵AD垂直平分BC，
∴CN=BN，
∴CN+NM+MK=BN+MN+QM，
∴点Q，M，N，B在同一条直线上时，CN+NM+MK最小，最小值为BQ，∵点G、C（0，4）关于x轴对称，
∴G（0，-4），
∵B（0，2），
∴直线BG的解析式为y=2x-4①，
由（2）知，直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$②，
联立①②得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{11}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∵A（-3，0），C（0，4），
∴直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4③，
∵QK⊥AC，∴直线QK的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{73}{12}$④，
联立③④解得，P（1，$\frac{16}{3}$），
∵点P是QK的中点，
∴Q（-$\frac{5}{3}$，2），
∵B（2，0），
∴BQ=$\sqrt{（2+\frac{5}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．
即：CN+NM+MK的最小值为$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

点评 此题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，直线的交点坐标，解（2）的关键是确定出点C的坐标，解（3）的关键是确定出点Q的坐标，是一道中等难度的中考常考题．