Question

8．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，且BC∥QR，则∠AOQ的度数为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 连结OD，根据等边三角形性质得PQ=PR=QR，则∠POQ=$\frac{1}{3}$×360°=120°，根据圆内接等边三角形的性质有OP⊥QR，而BC∥QR，所以OP⊥BC，根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，则OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根据垂径定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP计算即可．

解答 解：连结OD，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=$\frac{1}{3}$×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{DP}$，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．
故选：C．

点评 本题考查了正多边形与圆的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．