Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．

（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；
（2）一动点P从A出发，以 个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；
（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的 ？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），

而四边形ABCD为矩形，

∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）；

矩形ABCD的面积=（1+4）×（2+4）=30

（2）

解：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，

∵AM∥ON，

∴AM∥PQ∥ON，

∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，

即∠MPO=∠AMP+∠PON；

当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON

（3）

解：存在．

∵AM=4，AP= t，

∴S△AMP= ×4× t=t，

∵三角形AMP的面积等于长方形面积的 ，

∴t=30× =10，

∴AP= ×10=5，

∵AN=2，

∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．

【解析】（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，则∠MPO=∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON；（3）由于AM=4，AP= t，根据三角形面积公式得到S△AMP=t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的 可计算出t=10，则AP=5，然后根据点的坐标的表示方法写出P点坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的面积的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高．