Question

如图，一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2

3

），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．
（1）试确定这个一次函数解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）请你利用所求抛物线的图象回答：当x取何值时，抛物线中的部分图象落在x轴的上方？

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）根据A、B的坐标用待定系数法即可求出直线AB的解析式．
（2）本题的关键是求出C点的坐标，可先根据A、B的坐标求出AB的长，即可求出AD的值，然后在直角三角形ACD中根据∠DAC的余弦值求出AC的长，即可求出OC的长也就能求出C点的坐标．然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）由抛物线的解析式，令y＞0时，即可得出x的范围．

解答：解：（1）将点A（6，0）和B（0，2

3

）代入y=kx+n，

6k+n=0 n=2 3

，
解得

k=- 3 3 n=2 3

，
∴一次函数的解析式为y=-

1

3

3

x+2

3

；
（2）∵OA=6，OB=2

3

，
∴AB=4

3

，
∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴AD=2

3

，
∵tan∠DAC=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴cos30°=

AD

AC

，
∴AC=

2 3

3 2

=4，
∴OC=2，
设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵x₁=2，x₂=6；
∴y=a（x-2）（x-6），
把点B（0，2

3

）代入y=a（x-2）（x-6），得
2

3

=a（0-2）（0-6），
解得a=

3

6

，
y=

1

6

3

(x-2)(x-6)；
（3）∵抛物线和x轴交于点A，C，
∴当y＞0时，抛物线的部分图象落在x轴的上方，
此时x的取值范围是x＜2或x＞6．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，注意知识的综合应用．