Question

阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．
如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S₁，正四边形ABCD的面积为S₂，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H．设由OE、OF、

EF

及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S．①
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S₁、S₂之间的关系为：S=

 

（用含S₁、S₂的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的圆的对称性，显然阴影部分的面积等于扇形OEF的面积减去三角形OEF的面积，即圆面积的

1

4

减去正方形的面积的

1

4

；
（2）显然此时扇形OEF的面积仍是圆面积的

1

4

，四边形OGBH的面积仍是正方形的面积的

1

4

，故（1）中结论仍成立；
（3）可以作OP⊥AB，OQ⊥BC，利用全等的知识即可证明四边形OGBH的面积和（2）中四边形的面积相等，故结论仍成立．

解答：解：（1）根据图形的对称性，得
S=

S1-S2

4

；

（2）结论仍成立．
∵扇形OEF的面积仍是圆面积的

1

4

，四边形OGBH的面积仍是正方形的面积的

1

4

，
∴S=

S1-S2

4

；


（3）作OP⊥AB，OQ⊥BC．
则∠OPG=∠OQH，OP=OQ，
∵∠POQ=∠MOH，
∴∠POG=∠QOH，
∵在△OPG与△OQH中，

∠OPG=∠OQH OP=OQ ∠POG=∠QOH

，
∴△OPG≌△OQH（ASA）．
结合（2）中的结论即可证明．

点评：一题多变是常见的类型，熟悉正方形的性质．