Question

如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E作EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M．动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒．
（1）求DE的长；
（2）设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；
（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）在△EDC中根据勾股定理即可求出DE长；
（2）①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，由tan∠DBC=

CD

BC

=

ME

BE

=

1

2

，求出ME长，即可得到MF，根据面积公式求出面积；②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，证出菱形ABED，推出AB=BE，∠ABD=∠DBE，再证
△ABM≌△EBM，求出AM=5，即可求出答案；
（3）当点P在DA上时，有三种情况：①若MA=MP，②AM=AP，③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H，求出每种情况的t的值；当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴求出t的值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵∠C=90°，CD=8，CE=6，
由勾股定理得：DE=

62+82

，
=10，
答：DE的长是10．

（2）①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC，∠C=90°．
又∵EF⊥AD，
∴∠C=∠FEB=90°，
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

ME

BE

=

1

2

，
∴ME=BEtan∠DBC=5，
∴MF=3，
∴S_△APM=

1

2

×AP×MF=

1

2

×3×（10-2t）=-3t+15（0≤t≤5）；
②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，
∵AD∥BC，且AD=BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又∵AD=DE=10，
∴四边形ABED为菱形，
∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，
∴△ABM≌△EBM；
∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，
∴S_△APM=

1

2

×AP×MA=

1

2

×5×（2t-10）=5t-25（5≤t≤10）；
答：S与t的函数关系式是S=-3t+15（0≤t≤5），或S=5t-25（5≤t≤10）．

（3）当点P在DA上时，
①若MA=MP，
∵MF⊥AD，
∴AP=2AF，
又∵AM=5，FM=3，
∴AF=4，
∴AP=2AF=8，8=10-2t，
∴t=1；
②若AM=AP，
∴AP=5，5=10-2t，
∴t=

5

2

；
③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H，
∵∠PHA=∠MFA=90°，∠PAH=∠MAF，
∴△AHP∽△AFM，
∴AH=

4(10-2t)

5

，
∴AM=2AH，

8(10-2t)

5

=5，
∴t=

55

16

；
④当点P在AB上时，
∵∠BAM=90°，
∴只有AM=AP，
∴2t-10=5，
∴t=

15

2

；
综上所述，当t=1或t=

5

2

或t=

55

16

或t=

15

2

时，△PMA为等腰三角形．
答：当t=1或t=

5

2

或t=

55

16

或t=

15

2

时，△PMA为等腰三角形．

点评：本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形和梯形的面积等知识点，综合运用性质和判定进行计算和证明是解此题的关键，注意分类讨论思想的运用．