Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）通过对（1）中和（2）中结果的分析，猜想∠NMB的度数与∠A的度数有怎样的等量关系？并证明你的结论；
（4）若将（1）中的∠A改为钝角，在（3）中你猜想的结论是否仍然成立？

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先根据等腰三角形的性质得出∠B的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）解法同（1）；
（3）设∠A=α，根据AB=AC可知∠B=∠C，再由直角三角形的性质即可得出结论；
（4）证明过程与（3）相同．

解答：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）解法同（1），可得∠NMB=35°；

（3）两者关系为：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半，
证明：设∠A=α，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-α），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-

1

2

（180°-α）=

1

2

α；

（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中猜想的结论结论仍然成立．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．