Question

【阅读】
定义：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段顺时针旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平向右的方向平移m个单位后得到线段l′（若m＜0，则表示沿水平向左的方向平移|m|个单位），称线段l到线段l′的变换为XP＜α，m＞．图1中的变换XP＜30°，3＞就表示线段AB绕点A顺时针旋转30°，再沿水平向右的方向平移3个单位后得到线段A′B′的过程．


【操作】
图2是边长为1的正方形网格，线段AB的端点在格点上，以A为旋转中心，在图中画出线段AB经过变换XP＜90°，-2＞后的对应线段A′B′．
【应用1】
若将与水平方向垂直的线段AB经变换XP＜60°，m＞后所得的图形是线段CD（如图3），其中点A为旋转中心，AB=4，∠C=45°，求m的值．
【应用2】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，其中x轴的正方向为水平向右．若抛物线y=

1

2

x2-2x交x轴的正半轴于A，以O为旋转中心，线段OA经过XP＜α，m＞变换后对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，其中请直接写出所有符合题意的α和m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如图2所示；
（2）【应用1】如图3所示，根据题意可知∠A=90°∠ADC=150°，根据等边三角形的性质，平行四边形的性质求得∠PCB=∠PBC，进而求得PB=PC，得出四边形APCD是菱形，从而求得m的值；
（3）【应用2】，由抛物线y=

1

2

x2-2x交x轴的正半轴于A，求得A的坐标顶点坐标，进而求得OA=4，分两种情况分别讨论求得；

解答：
解：（1）【操作】，如图2；

（2）【应用1】如图3所示，根据题意可知∠A=90°∠ADC=150°，
∵∠C=45°，
∴∠B=75°，
∵AB=AP=4，∠BAP=60°，
∴三角形APB是等边三角形，
AP=PB=AB=4，∠APB=60°，
∴∠PBC=15°，∠PAD=30°，
∵AP=DC，AP∥DC，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴AP=CD=4，∠PCD=∠PAD=30°，
∴∠PCB=15°，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PB=PC，
∴四边形APCD是菱形，
∴AD=AP=AB=4，
即m=4；

（3）【应用2】有两种情况：
如图4所示，∵抛物线y=

1

2

x2-2x交x轴的正半轴于A，
∴令y=0，y=

1

2

x2-2x=0，
解得：x=0，x=4，
∴A（0，4），
∴OA=4，
由抛物线y=

1

2

x2-2x可知顶点坐标A′为（2，2），
∴AM=2
∵O′A′=OA=4，
则sin∠A′O′M=

A′M

O′A′

=

1

2

，
∴∠A′O′M=30°，
即α=30°；
∴O′M=2

3

，
∴OO′=2

3

-2，
即m=2-2

3

；

如图4所示：∠A^″OA=150°，O′M=2

3

，
所以，α=150°和m=2+2

3

．

点评：本题考查旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，抛物线的交点和顶点的坐标的求法，解直角三角函数等；