Question

2．如图所示，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，MN⊥AB，且S_△AMN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，则四边形BCMN的外接圆的半径等于$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 连接BM根据相似三角形的性质得到$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，求得AN=2，MN=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理得到BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，推出BM是⊙O的直径，于是得到结论．

解答 解：连接BM，∵∠BAC=∠MAN，∠ACB=∠ANM=90°，
∴△ABC∽△AMN，
∵S_△AMN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴AN=2，MN=$\frac{3}{2}$，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴BN=AB-AN=3，
∴BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠C=90°，
∴BM是⊙O的直径，即四边形BCMN的外接圆的直径，
∴四边形BCMN的外接圆的半径=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．