Question

15．如图，在半圆O的直径AB的延长线上取一点P，作PC切半圆O于C，又过P任作一直线交半圆O于M、N，过点C作CD⊥AB，垂足为D．求证：DC是∠MDN的平分线．

Answer 1

分析 连接OM，OC，ON，CM，CN，由PC切半圆O于C，得到OC⊥PC，证得△POC∽△PCD得到PC²=PO•PD，由于△PCN∽△PMC，得到PC²=PM•PN，等量代换得到PO•PD=PM•PN，根据∠DPN=∠MPO，得到△DPN∽△MPO，于是得到∠PMO=∠PDN，证得△COD∽△POC，得到$\frac{OC}{PO}=\frac{OD}{OC}$，等量代换得到$\frac{OM}{PO}=\frac{OD}{OM}$，由于∠DOM=∠MOP，得到△POM∽△MOD，证得∠ODM=∠PMO=∠PDN，由于CD⊥AP，得到∠ADC=∠PDC=90°，于是得到结果．

解答 解：连接OM，OC，ON，CM，CN，
∵PC切半圆O于C，
∴OC⊥PC，
∵CD⊥AB，
∴△POC∽△PCD，
∴$\frac{PC}{PO}=\frac{PD}{PC}$，
∴PC²=PO•PD，
∵∠CPN=∠MPC，∠PCN=∠PMC，
∴△PCN∽△PMC，
∴$\frac{PC}{PM}=\frac{PN}{PC}$，
∴PC²=PM•PN，
∴PO•PD=PM•PN，
∴$\frac{PO}{PN}=\frac{PM}{PD}$，
∵∠DPN=∠MPO，
∴△DPN∽△MPO，
∴∠PMO=∠PDN，
∵∠CDO=∠PDC，
∴△COD∽△POC，
∴$\frac{OC}{PO}=\frac{OD}{OC}$，
∵OM=OC，
∴$\frac{OM}{PO}=\frac{OD}{OM}$，
∵∠DOM=∠MOP，
∴△POM∽△MOD，
∴∠ODM=∠PMO=∠PDN，
∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠PDC=90°，
∴∠MDC=90°-∠ADM=90°-∠PDN=∠NDC，
∴DC是∠MDN的平分线．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．