Question

4．在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F．连接EF交AC、BC边于点G、H．
（1）若BE⊥AC，求证：CG•BH=AB•CH；
（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；
（3）△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，易证AC∥BF，从而得到△CHG∽△BHF，根据相似三角形的性质可得$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BF}$，由BF=BA即可得到结论；
（2）易知当AG=4时，点G为AC中点，与点E重合，如图2，过点H作HN⊥BE于N，△BEF与△ABC重叠部分的面积就是△EBH的面积，只需运用三角函数求出HN，即可解决问题；
（3）只需将△BHE的三个内角分别作为等腰三角形的顶角进行分类讨论，就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

∵BE⊥AC，BE⊥BF，
∴AC∥BF，
∴△CHG∽△BHF，
∴$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BF}$．
∵BF=BA，
∴$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BA}$，
即CG•BH=AB•CH；

（2）∵∠B=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．
∵AG=4，
∴点G是AC的中点，
此时E与G重合，△ABE是等边三角形，如图2．

过点H作HN⊥BE于N，
∵∠EBF=90°，BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∴∠EHN=90°-45°=45°=∠BEF，
∴EN=HN．
设HN=x，则EN=x，NB=4-x，
在Rt△HNB中，
由tan∠NBH=$\frac{HN}{NB}$得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{x}{4-x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$-2．
∴S_△EBH=$\frac{1}{2}$BE•HN=$\frac{1}{2}$×4×（2$\sqrt{3}$-2）=4$\sqrt{3}$-4，
即△BEF与△ABC重叠部分的面积为4$\sqrt{3}$-4；

（3）①若∠HEB是等腰△BHE的顶角，如图3，

则有∠EBH=∠EHB=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠ABE=90°-67.5°=22.5°．
②若∠EHB是等腰△BHE的顶角，如图4，

则有∠EBH=∠HEB=45°，
∴∠ABE=90°-45°=45°．
③若∠EBH是等腰△BHE的顶角，
则∠EBH=180°-45°-45°=90°，
此时点E与点A重合，没有旋转，故舍去．
综上所述：△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数为22.5°或45°．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，利用三角函数求出HN是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是第（3）小题的关键，当等腰三角形的顶角不确定时，常常需要分类讨论．