Question

5．函数y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a．
（1）当a取什么值时，它为二次函数？
（2）当a取什么值时，它为一次函数？

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的定义，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案；
（2）根据二次项的系数为零，一次项的系数不为零，可得答案．

解答 解：（1）由y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是二次函数，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=2}\\{a+1≠0}\end{array}\right.$，解得a=2，
当a=2时，y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是二次函数；
（2）①a+1=0时，即a=-1时，y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是一次函数；
②$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=1}\\{a+1+a-3≠0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
当a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$时，y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是一次函数；
③a²-a=0且a-3≠0，
解得a=0，a=1，
当a=0，a=1时，y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是一次函数；
综上所述：a=-1，a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，时a=0，a=1，y=（a+1）${x}^{{a}^{2}-a}$+（a-3）x+a是一次函数．

点评 本题考查了二次函数，二次函数的二次项的系数不等于零，一次函数的一次项的系数不等于零．