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【题目】如图,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论;
(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC>AB,BD、AC为对角线,BD=8,
①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由;
②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE,当四边形ABED为菱形时,求点F到AB的距离.

【答案】
(1)

【解答】解:猜想:筝形对角线之间的位置关系:垂直.即OT⊥MN.

证明:连接OT,MN,

在△OMT和△ONT中,

∴△OMT≌△ONT(SSS),

∴∠MOT=∠NOT,

∵OM=ON,

∴OT⊥MN(等腰三角形三线合一).


(2)

【解答】

①存在.

由(1)得AC⊥BD,设AC与BD交于点M,

在Rt△AMB中,AB=5,BM=BD=4,

∴AM==3,

∵A、B、C、D四点共圆,

∴∠ABC+∠ADC=180°,

又∵△ABC≌△ADC,

∴∠ABC=∠ADC=90°,

∴AC即为所求圆的直径

∵∠BAM=∠BAC,∠ABC=∠AMB=90°,

∴△ABM∽△ACB,

=,即=

∴AC=

∴圆的半径为:AC=

②作FM⊥AB,作EG⊥AB于G.

∵四边形ABED是菱形,

∴AE⊥BD,且BN=BD=4,

∴AN=NE===3,AE=6.

∴S菱形ABED=AEBD=×6×8=24,

又∵S菱形ABED=ABEG,

∴EG=

∵∠DBF=∠DBF,∠BNE=∠BFD,

∴△BNE∽△BFD,

,即

∴BF=

∵GE⊥AB,FM⊥AB,

∴GE∥FM,

∴△BEG∽△BFM,

,即

解得:FM=


【解析】(1)证明△OMP≌△ONP,即可证得MN⊥OT,且OT平分MN;
(2)①若经过A,B,C,D四个点的圆存在,则对角互补,据此即可判断;
②已知FM⊥AB,作EG⊥AB于G,根据菱形的面积公式求得GE的长,然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长,再根据△BEG∽△BFM求得FM的长.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握相似三角形的切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.

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