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    9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=-x+9，点P是BC边上一个动点，
    （1）求点D的坐标；
    （2）当点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形是否能构成平行四边形？若能，求出BP的长；若不能，说明理由；
    （3）在（2）条件下，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？并说明理由．

    分析 （1）根据AD∥BC，可得点D的纵坐标，由此即可解决问题．
    （2）分两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
    （3）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．

    解答 解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=-x+9，
    ∴D点的纵坐标为4，y=4时，4=-x+9，x=5，
    ∴D点的横坐标为5，
    ∴D（5，4）．

    （2）如图1中，作DN⊥BC交于N，则四边形OADN为矩形，C（9，0），OC=9，

    ∴CN=OC-ON=OC-AD=9-5=4，DF=4，
    ∴△DFC为等腰直角三角形，
    ∴CD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
    若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE=5，
    有两种情况：①当P在E的左边，
    ∵E是BC的中点，
    ∴BE=6，
    ∴BP=BE-PE=6-5=1；
    ②当P在E的右边，
    BP=BE+PE=6+5=11；
    故当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
    （3）①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6-4=2，
    ∴DE=$\sqrt{D{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$≠AD，故不能构成菱形．
    ②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
    ∴EP′=AD=5，
    过D作DN⊥BC于N，如图2所示：

    由（1）得：DN=CN=4，
    ∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-（12-4）=3．
    ∴DP′=$\sqrt{D{N}^{2}+P′{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
    ∴EP′=DP′，
    故此时平行四边形P′DAE是菱形，
    即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

    点评 本题是一次函数综合题目、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

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