Question

1．观察下列算式，你发现了什么规律？
1³=$\frac{1×4}{4}；{1^3}+{2^3}=\frac{4×9}{4}；{1^3}+{2^3}+{3^3}=\frac{9×16}{4}；{1^3}+{2^3}+{3^3}+{4^3}=\frac{16×25}{4}$；…
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：1³+2³+3³+…+8³=$\frac{64×81}{4}$；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{{n^2}{{（{n+1}）}^2}}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）几个连续自然数的立方和其结果分母都为4，如果等号左边有1个加数，那么分子中的第一个因数为1²，第二个因数为2²，如果等号左边有2个加数，那么分子中的第一个因数为2²，第二个因数为3²，如果等号左边有n个加数，那么分子中的第一个因数为n²，第二个因数为（²n+1）；
（2）根据规律得到：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{{n^2}{{（{n+1}）}^2}}}{4}$．

解答 解：（1）根据发现的规律，计算下面算式的值：1³+2³+3³+…+8³=$\frac{64×81}{4}$；
（2）根据规律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{{n^2}{{（{n+1}）}^2}}}{4}$．
故答案为$\frac{64×81}{4}$；$\frac{{{n^2}{{（{n+1}）}^2}}}{4}$．

点评 考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．