Question

已知直线y=4-x与x轴、y轴分别相交于C、D两点，有反比例函数y=

m

x

（m＞0，x＞0）的图象与之在同一坐标系．

（1）若直线y=4-x与反比例函数图象相切，求m的值；
（2）如图1，若两图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜

m

x

的解集；
（3）在（2）的情况下，过点A向y轴作垂线AM，垂足为M，如图2，有一动点P从原点O出发沿O→B→A→M（BA段为曲线）的路线运动，点P的横坐标为a，由点p分别向x、y轴作垂线，垂足为E、F，四边形OEPF的面积为S，求S关于a的函数关系式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,根的判别式,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,矩形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）若直线y=4-x与反比例函数y=

m

x

（m＞0，x＞0）的图象相切，则方程4-x=

m

x

即x²-4x+m=0有两个相等的实数根，则根的判别式等于0，从而可以求出m的值．
（2）由条件可依次求出点A的坐标、反比例函数的解析式、点B的坐标；设y₁=4-x，y₂=

m

x

，可将“求关于x的不等式4-x＜

m

x

的解集”转化为“求函数y₁的函数值小于函数y₂的函数值时对应的自变量x的取值范围”，只需结合图象就可解决问题．
（3）设点P的坐标为（a，b），易证四边形OEPF是矩形，从而得到S=S_矩形OEPF=OE•OF=ab．然后对点P分别在线段OB、双曲线上BA段、线段AM三个位置进行讨论，即可求出对应的S关于a的函数关系式．

解答：解：（1）若直线y=4-x与反比例函数y=

m

x

的图象相切，
则方程4-x=

m

x

即方程x²-4x+m=0有两个相等的实数根，
则（-4）²-4×1×m=0．
∴m=4．
（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点B作BG⊥x轴，垂足为G，如图1，
∵点A在直线y=4-x上，且x_A=1，
∴y_A=4-1=3．
∴点A的坐标为（1，3）．
∴x_H=1．
∵点A（1，3）在反比例函数y=

m

x

图象上，
∴m=1×3=3．
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．
联立

y=4-x y= 3 x

，
解得：

x=1 y=3

或

x=3 y=1

．
∴点B的坐标为（3，1）．
∴x_G=3．
设y₁=4-x，y₂=

m

x

（m＞0，x＞0），
结合图象可得：
当0＜x＜1或x＞3时，y₁＜y₂，即4-x＜

m

x

．
∴关于x的不等式4-x＜

m

x

的解集为0＜x＜1或x＞3．
（3）设点P的坐标为（a，b），
∵点P在第一象限，
∴OE=a，OF=b．
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，OE⊥OF，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°．
∴四边形OEPF是矩形．
∴S=S_矩形OEPF=OE•OF=ab．
①当点P在线段OB上时，如图2，
设OB的解析式为y=kx，
∵点B的坐标为（3，1）
∴3k=1．
∴k=

1

3

．
∴OB的解析式为y=

1

3

x．
∵点P在线段OB上，
∴b=

1

3

a．
∴S=ab=

1

3

a²．
②当点P在双曲线y=

3

x

上时，如图3，
则有ab=3．
∴S=ab=3．
③当点P在线段AM上时，如图4，
此时b=3．
∴S=ab=3a．
综上所述：当点P在线段OB上时，S=

1

3

a²；当点P在双曲线上时，S=3；当点P在线段AM上时，S=3a．

点评：本题考查了双曲线与直线的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、矩形的判定与性质、根的判别式等知识，考查了数形结合以及分类讨论的思想，是一道好题．