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【题目】已知在正方形ABCD中,点EF分别为边BCCD上的点,且∠EAF=45°AEAF分别交对角线BD于点MN,则下列结论正确的是_____.

①∠BAE+DAF=45°;②∠AEB=AEF=ANM;③BM+DN=MN;④BE+DF=EF

【答案】①②④

【解析】

由∠EAF=45°,可得∠BAE+DAF=45°,故①正确;如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,根据三角形的外角的性质得到∠ANM=AEB,于是得到∠AEB=AEF=ANM;故②正确;由旋转的性质得,BH=DFAH=AF,∠BAH=DAF,由已知条件得到∠EAH=EAF=45°,根据全等三角形的性质得到EH=EF,∴∠AEB=AEF,求得BE+BH=BE+DF=EF,故④正确;BMDNMN存在BM2+DN2=MN2的关系,故③错误.

解:∵∠EAF=45°,∴∠BAE+DAF=45°,故①正确;

如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH
由旋转的性质得,BH=DFAH=AF,∠BAH=DAF
∵∠EAF=45°
∴∠EAH=BAH+BAE=DAF+BAE=90°-EAF=45°
∴∠EAH=EAF=45°
在△AEF和△AEH中,

∴△AEF≌△AEHSAS),
EH=EF
∴∠AEB=AEF
BE+BH=BE+DF=EF,故④正确;

∵∠ANM=ADB+DAN=45°+DAN
AEB=90°-BAE=90°-(∠HAE-BAH=90°-45°-BAH=45°+BAH
∴∠ANM=AEB
∴∠AEB=AEF=ANM;故②正确;

BMDNMN满足等式BM2+DN2=MN2,而非BM+DN=MN,故③错误.

故答案为①②④.

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