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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线经过点ABC,已知A-10),B30),C0-3.

1)求此抛物线的函数表达式;

2)若P为线段BC上一点,过点P轴的平行线,交抛物线于点D,当△BCD面积最大时,求点P的坐标;

3)若Mm0)是轴上一个动点,请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.

【答案】1;(2P),面积最大为;(3CM+MB最小值为M0

【解析】

1)利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;(2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式,设Paa-3),得出PD的长,列出SBDC的表达式,化简成顶点式,即可求解;

3)取G点坐标为(0),过M点作MB′BG,用B′M代替BM,即可得出最小值的情况,再将直线BG、直线B′C的解析式求出,求得M点坐标和∠CGB的度数,再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.

解:(1)∵抛物线经过点ABCA-10),B30),C0-3),

代入表达式,解得a= 1b=-2c=-3

∴故该抛物线解析式为:.

2)令
x1=-1x2=3
B30),
设直线BC的解析式为y=kx+b′,将BC代入得:k=,1b′=-3

∴直线BC的解析式为y=x-3

Paa-3),则Daa2-2a-3),

PD=a-3-a2-2a-3= -a2+3a

SBDC=SPDC+SPDB

=PD×3

=

∴当a=时,△BDC的面积最大,且为为,此时P);

3)如图,取G点坐标为(0),连接BG

M点作MB′BG,∴B′MBM

CMB′在同一条直线上时,CM+MB最小.

可求得直线BG解析式为:

B′CBG

故直线B′C解析式为为

y=0,则x=

B′Cx轴交点为(0

OG=OB=3

∴∠CGB=60°

B′C= CGsinCGB==

综上所述:CM+MB最小值为,此时M0.

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