【题目】在平面直角坐标系中,抛物线经过点A、B、C,已知A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)若P为线段BC上一点,过点P作轴的平行线,交抛物线于点D,当△BCD面积最大时,求点P的坐标;
(3)若M(m,0)是轴上一个动点,请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.
【答案】(1);(2)P(,),面积最大为;(3)CM+MB最小值为,M(,0)
【解析】
(1)利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;(2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式,设P(a,a-3),得出PD的长,列出S△BDC的表达式,化简成顶点式,即可求解;
(3)取G点坐标为(0,),过M点作MB′⊥BG,用B′M代替BM,即可得出最小值的情况,再将直线BG、直线B′C的解析式求出,求得M点坐标和∠CGB的度数,再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.
解:(1)∵抛物线经过点A、B、C,A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
代入表达式,解得a= 1,b=-2,c=-3,
∴故该抛物线解析式为:.
(2)令,
∴x1=-1,x2=3,
即B(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b′,将B、C代入得:k=,1,b′=-3,
∴直线BC的解析式为y=x-3,
设P(a,a-3),则D(a,a2-2a-3),
∴PD=(a-3)-(a2-2a-3)= -a2+3a
S△BDC=S△PDC+S△PDB
=PD×3
=,
∴当a=时,△BDC的面积最大,且为为,此时P(,);
(3)如图,取G点坐标为(0,),连接BG,
过M点作MB′⊥BG,∴B′M=BM,
当C、M、B′在同一条直线上时,CM+MB最小.
可求得直线BG解析式为:,
∵B′C⊥BG
故直线B′C解析式为为,
令y=0,则x=,
∴B′C与x轴交点为(,0)
∵OG=,OB=3,
∴∠CGB=60°,
∴B′C= CGsin∠CGB==,
综上所述:CM+MB最小值为,此时M(,0).
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【题目】如图,在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱,在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.
(1)填空:判断此光源下形成的投影是: 投影.
(2)作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+ 的图象经过A(﹣1,0),B(3,0),与y轴相交于点C.点P为第一象限的抛物线上的一个动点,过点P分别做BC和x轴的垂线,交BC于点E和F,交x轴于点M和N.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段PE最大值,并求出线段PE最大时点P的坐标;
(3)若S△PMN=3S△PEF时,求出点P的坐标.
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【题目】如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
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【题目】已知在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC与CD上的点,且∠EAF=45°,AE与AF分别交对角线BD于点M、N,则下列结论正确的是_____.
①∠BAE+∠DAF=45°;②∠AEB=∠AEF=∠ANM;③BM+DN=MN;④BE+DF=EF
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【题目】抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A.过点B(0,3)作y轴的垂线l,若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点,设其中靠近y轴的交点的横坐标为m,且│m│<1,则a的取值范围是______.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<12),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )
A.4或5B.4或7C.4或5或7D.4或7或9
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【题目】作图题:⊙O上有三个点A,B,C,∠BAC=70°,请画出要求的角,并标注.
(1)画一个140°的圆心角;(2)画一个110°的圆周角;(3)画一个20°的圆周角.
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【题目】请阅读以下材料,并完成相应的任务:
任务:
(1)设P(a,),R(b,),求直线OM的函数解析式(用含a,b的代数式表示),并说明Q点在直线OM上;
(2)证明:∠MOB=∠AOB.
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