Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），

（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；

（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．

①求点H的坐标；

②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a＝﹣，抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H的坐标为（2，6）；②证明见解析.

【解析】

(I）根据该抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；

(II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；

②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．

（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴的一个交点为（﹣1，0），

∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，

解得，a＝﹣，

∴y＝x2+x＝x（x+1），

当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，

即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；

（Ⅱ）①∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），

∴不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），

即点H的坐标为（2，6）；

②证明：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，

∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），

则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，

即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．