Question

11．将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在 AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求证：CF=EF；
（3）若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转，且∠ABD=70°，其他条件不变，如图②．请你写出此时AF、EF 与DE 之间的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质即可得出结果；
（2）连接BF，由SAS证明△BCF≌△BEF即可；
（3）由全等三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）解：∵∠ACB=∠DEB=90°，∠A=30°，
∴∠AEF=90°，∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠CFE=180°-∠AFE=120°．
（2）证明：连接BF，如图1所示：
∵△DBE≌△ABC，
∴BE=BC，DE=AC．
在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴CF=EF；
（3）解：DE+EF=AF，理由如下：
∵CF=EF，AC=DE，
∴DE+EF=AC+CF=AF．

点评 本题是三角形综合题目，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、旋转的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键．