Question

19．如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若函数y=3x与y=$\frac{k}{x}$的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．

Answer 1

分析 （1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，即可确定反比例函数解析式；
（2）先将y=3x与y=$\frac{12}{x}$联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，然后连接BC，分别求出△OMB的面积，△OBC的面积，△BCD的面积，进而确定四边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．

解答 解：（1）∵A点的坐标为（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{4}{5}$，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}=6$，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，
∴C（4，3），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=12，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；
（2）将y=3x与y=$\frac{12}{x}$联立成方程组，得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-6}\end{array}\right.$，
∵M是直线与双曲线另一支的交点，
∴M（-2，-6），
∵点D在AB上，
∴点D的横坐标为8，
∵点D在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴点D的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
∴D（8，$\frac{3}{2}$），
∴BD=$\frac{3}{2}$，
连接BC，如图所示，
∵S_△MOB=$\frac{1}{2}$•8•|-6|=24，
S_{四边形OCDB}=S_△OBC+S_△BCD=$\frac{1}{2}$•8•3+$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•4$=15，
∴$\frac{S△MOB}{S四边形OCDB}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是：确定交点的坐标．