Question

9．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．

解答 证明：（1）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=4$\sqrt{3}$；
（2）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线．

点评 此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．