Question

如图1，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12

3

cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2

3

cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）是否存在△RPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）存在△RPQ为等腰三角形，由于△QPQ的腰和底不确定，需分类讨论：①PR=RQ，②PR=PQ，③RQ=PQ时分别求出符合题意的t值即可，

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

=

12

12 3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6

3

，
又∵OP=2

3

t，
∴2

3

t=6

3

，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）存在△RPQ为等腰三角形，
理由如下：由题意可知：PR2=16t2-48t，PQ2=52t2-288t，RQ2=28t2-240t+576，
当①PR=RQ时，可得t=8-2

7

（t=8+

7

舍去）；
当②PR=PQ时，可得t=

10±2 7

3

；
当③RQ=PQ时，可得t=1+

7

（t=1-

7

舍去）
综上可知：当t=8-2

7

，

10±2 7

3

，1+

7

时，△RPQ为等腰三角形．

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（3）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．