Question

1．如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．
（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF=60度；
（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；
（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可以得出△BCE≌△DCF，就可以得出CE=CF，得出△ECF是等边三角形，就可以得出结论；
（2）先由等式的性质可以得出∠BCE=∠DCF，由菱形的性质就可以得出△BCE≌△DCF，就有CE=CF，得出△ECF是等边三角形，就可以得出∠CEF=60°，进而得出结论；
（3）结论：∠DEF+∠DFE=3∠CEF或∠DEF+∠DFE=∠CEF．①如图3，当点E在线段BD的延长线上或线段DB的延长线上时，由等式的性质可以得出∠BCE=∠DCF，由平行四边形的性质就可以得出△BCE∽△DCF，就有$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{CF}$，就可以得出△BCD∽△ECF，求出∠DBC=∠FEC，从而得出结论．②当点E在线段AB上时，如图4中，同理可证∠FEC=45°，由∠ADB=∠DEF+∠DFE=45°，推出∠DEF+∠DFE=∠FEC．

解答 解：（1）如图①∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECF-∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CDF}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∵∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°．
故答案为：60；
（2）∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
理由：如图②，∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠ECD=∠ECF+∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CDF}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=120°，
∴∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
（3）结论：∠DEF+∠DFE=3∠CEF或∠DEF+∠DFE=∠CEF．
理由：①如图3，当点E在线段BD的延长线上或线段DB的延长线上时，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDC=∠BCD．
∵∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠BDC=90°．
∴∠FDC=45°．
∴∠FCE=∠DBC．
∵∠ECF=45°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECF+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCF．
∴△BCE∽△DCF，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{CF}$，
∴△BCD∽△ECF，
∴∠DBC=∠FEC，
∴∠FEC=45°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=135°
∴∠DEF+∠DFE=3∠CEF．
②当点E在线段BD上时，如图4中，同理可证∠FEC=45°，

∵∠ADB=∠DEF+∠DFE=45°，
∴∠DEF+∠DFE=∠FEC．

点评 本题考查了菱形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，注意最后一个问题有两种情形．