Question

2．已知：如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P'CB，若AB=m，PB=n（n＜m）．求△PAB旋转过程中边PA扫过区域（阴影部分）的面积；
（2）若PA=$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{2}$，∠APB=135°，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到S_△ABP=S_△CBP′，根据扇形的面积公式计算即可；
（2）连接PP′，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）由旋转的性质可知，S_△ABP=S_△CBP′，
∴△PAB旋转过程中边PA扫过区域面积=$\frac{90π×{m}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{n}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$（m²-n²）；
（2）连接PP′，
由旋转的性质可知，∠BP′C=∠APB=135°，∠PBP′=90°，BP′=BP=2$\sqrt{2}$，P′C=PA=$\sqrt{2}$，
∴PP′=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，∠PP′C=90°，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是旋转的性质、扇形面积的计算，掌握旋转变换的性质、扇形的面积公式是解题的关键．