Question

17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是α+β=180°，证明你的结论；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①探索角α与β之间的数量关系并证明，
②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明．
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是α＞β，线段BC、DC、CE之间的数量关系是BC+CD＞CE，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）先证∠CAE=∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，即可得出结论；
（2）同（1），证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，对应边相等BD=CE，即可得出结论；
（3）连接BE，先证明△BAE≌△CAD，得出对应角相等，对应边相等，再根据三角形外角关系和三边关系即可得出结论．

解答 解：（1）α+β=180°；理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°；
（2）α=β；理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，即α=β；
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）α＞β，BC+CD＞CE；如图所示：连接BE，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ABE+∠DBE=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBE=∠BAC=α，
∵∠DBE＞β，
∴α＞β，
∵BC+BE＞CE，
∴BC+CD＞CE．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．