Question

如图在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限．OA和AB的长是方程x2-3

5

x+10=0两根，且OA＜AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为E，设点C的坐标为（x，0）．
①是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
②设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可直接求出OA、AB的长，又∠BAO=90°，由勾股定理可求OB，作OB边上的高AF，用面积法及勾股定理可求0F、AF，从而得出A点坐标，根据“两点法”求直线AB解析式．
（2）△AED按直角顶点分为两类：①A点为直角顶点，此时E、O两点重合，C点为OB的中点；②E点为直角顶点，过点A作AF⊥x轴于F，利用等腰三角形的性质解题．

解答：解：（1）解方程x2-3

5

x+10=0得两根为x1=

5

，x2=2

5

因为OA和AB的长是方程x2-3

5

x+10=0两根，且OA＜AB
所以OA=

5

，AB=2

5

而∠BAO=90°，则OB=

( 5 )2+(2 5 )2

=5
作AF⊥x轴于F，如图
则AF=

OA•AB

OB

=

5 •2 5

5

=2
那么OF=

( 5 )2-22

=1
∴A（1，2），B（5，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

．
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合，如图．
∵OC=BC=

1

2

OB=

5

2

∴C₁（

5

2

，0）；
ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时，如图，过点A作AF⊥x轴于F．OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=

3

2

，
∴OC=OE+EC=2+

3

2

=

7

2

．
∴C₂（

7

2

，0）．
综上所述，存在这样的点C，使得△AED为直角三角形，点C的坐标为：
C₁（

5

2

，0）和C₂（

7

2

，0）．
②当1≤x＜

5

2

时，△CDE与△AOB重叠部分的面积即为△CDE的面积，由直角三角形的面积公式即可求解；
S与x之间的函数关系式如下：
S=

- 13 12 x2+ 50 12 x- 25 12 (1≤x＜ 5 2 ) 1 4 x2- 5 2 x+ 25 4 ( 5 2 ≤x＜5)

．

点评：本题考查了点的坐标的求法，待定系数法求直线解析式，折叠问题及分类讨论的数学思想．