Question

8．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD交于点E，AB=AD．
（1）求证：AC平分∠BCD；
（2）如图2，连接CO，若∠CAD=2∠OCB，求证：BD=BC；
（3）在（2）的条件下，如图3，BR⊥AC交AC于点R，tan∠ACD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AR=1，求CD长．

Answer 1

分析 （1）根据圆的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接DO，延长CO交BD于F，设∠BCO=x°，则∠DBC=∠CAD=2∠BCO=2x°，由已知条件得到∠DOC=2∠DBC=4x°，∠DFC=∠DBC+∠BCF=3x°，根据角的和差得到∠BDO=∠DOC-∠DFC=4x-3x=x°，等量代换得到∠BCD=∠BDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（3）作BF⊥AD于F，推出△FBA≌△RBA，根据全等三角形的性质得到FA=RA=1，解直角三角形得到tan∠ACB═$\frac{\sqrt{7}}{3}$，设BF=$\sqrt{7}$a，FD=3a，得到AB=AD=3a-1，根据勾股定理列方程得到AB=AD=8，BC=BD=12，延长CD至K，使DK=BC，连接AK，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴∠ACB=∠ACD；

（2）如图2，连接DO，延长CO交BD于F，
设∠BCO=x°，则∠DBC=∠CAD=2∠BCO=2x°，
∴∠DOC=2∠DBC=4x°，∠DFC=∠DBC+∠BCF=3x°，
∴∠BDO=∠DOC-∠DFC=4x-3x=x°，
∴∠BCO=∠BDO，
∵DO=CO，
∴∠OCD=∠ODC，
∠BCO+∠OCD=∠BDO+∠ODC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=CD；

（3）如图3，作BF⊥AD于F，
∵∠BDC=∠BCD，∠BDC=∠BAC，
∴∠BCD=∠BAC，
∵∠BCD+∠BAD=∠BAD+∠BAF=180°，
∴∠BCD=∠BAF，
在△FBA与△RBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BAF}\\{∠BFA=∠BRA}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△FBA≌△RBA，
∴FA=RA=1，
∵∠BDA=∠BCA，tan∠ACB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴tan∠ACB═$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴设BF=$\sqrt{7}$a，FD=3a，
∴AB=AD=3a-1，
∴AB²=AF²+BF²，a=3，AB=AD=8，BC=BD=12，
延长CD至K，使DK=BC，连接AK，
则△ABC≌△ADK，AC=10，
作AT⊥CK，
∵AC=AK，
∴CK=2CT，
CT=AC•cos∠ACD=7.5，
∴CD=CK-DK=15-12=3．

点评 本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．