Question

如图，已知一次函数y=-

1

2

x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP．
（1）b=

 

；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=-

1

2

x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得b的值；
（2）根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据PC=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
（3）根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，∠CBM与∠EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．

解答：解：（1）一次函数y=-

1

2

x+b的图象过点A（0，3），
3=-

1

2

×0+b，
解得b=3．
故答案为：3；
（2）证明：过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，

OB=PD ∠O=∠CPD OE=PC

，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，

MB=ND ∠M=∠N MC=NE

，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（3）设P点坐标（x，y），
当△OBE≌△MCB时，四边形BCDE为正方形，
OE=BM，
即

1

3

y=

1

3

x，
x=y．
P点在直线上，

y=- 1 2 x+3 y=x

，
解得

x=2 y=2

在直线y=-

1

2

x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质．