Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0）和点B（0，2.5）在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P，Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE．过点P作x轴的垂线，交直线AB于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形EQCD，PFGH随点Q，P运动），当OP=2或2.5时，正方形PFGH的边和正方形QCDE的边落在同一条直线上．

Answer 1

分析 先求得直线AB的解析式然后分两种情况：①当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，设OP=a，PQ=b，根据等腰直角三角形的性质PG=PQ=b，由于点N在直线AB上，得出$\frac{b}{2}$=-0.25a+2.5，由AQ=2OP，得出AQ=2a，因为OQ=a+b，OQ+AQ=OA=10，得出2a+a+b=10，从而求得OP=2，②当PF和ED落在同一条直线上时，△PEQ为等腰直角三角形，得出PQ=DQ=b，M（a+b，$\frac{b}{2}$），由于点M在直线AB上，得出$\frac{b}{2}$=-0.25（a+b）+2.5，求得b=$\frac{-a+10}{3}$，根据2a+a+b=10，解得a=2.5．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵点A（10，0）和点B（0，2.5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{b=2.5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.25}\\{b=2.5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-0.25x+2.5，
①当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，如图1，
设OP=a，PQ=b，
∴PG=PQ=b，OQ=a+b，
∵点N在直线AB上，
∴$\frac{b}{2}$=-0.25a+2.5，
∵AQ=2OP，
∴AQ=2a，
∵OQ+AQ=OA=10，
∴2a+a+b=10，
∴3a+2（-0.25a+2.5）=10，解得a=2，
∴OP=2，
②当PF和ED落在同一条直线上时，△PEQ为等腰直角三角形，如图2，
∴PQ=DQ=b，
∴M（a+b，$\frac{b}{2}$），
∵点M在直线AB上，
∴$\frac{b}{2}$=-0.25（a+b）+2.5，
∴b=$\frac{-a+10}{3}$，
∵2a+a+b=10，
∴3a+$\frac{-a+10}{3}$=10，解得a=2.5；
故当OP=2或2.5时，正方形PFGH的边和正方形QCDE的边落在同一条直线上．
故答案为2或2.5．

点评 本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形对角线的性质及其与x轴垂直解题．