Question

13．如图，已知AB是⊙O的直径，EF为弦，AC、BD垂直于EF所在直线，C、D为垂足．求证：OC=OD，CE=DF．

Answer 1

分析 作OH⊥EF于H，如图，由OH⊥EF，AC⊥CD，BD⊥CD得到AC∥OH∥BD，易得OH为梯形ABDC的中位线，根据梯形的中位线性质得CH=DH，由OC=OD．再根据垂径定理由OH⊥EF得到EH=FH，然后利用等量减等量差相等即可得到CE=DF．

解答 证明：作OH⊥EF于H，如图，
∵OH⊥EF，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥OH∥BD，
∵OA=OB，
∴OH为梯形ABDC的中位线，
∴CH=DH，即OH是线段CD的垂直平分线，
∴OC=OD，
∵OH⊥EF，
∴EH=FH，
∴CH-EH=DH-FH，即CE=DF．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了梯形的中位线定理和垂径定理．