Question

【题目】如图：五边形ABCDE中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=BC=8，CD=5．

（1）说明∠A，∠E，∠D之间的数量关系；

（2）平移五边形ABCDE，使D点移动到C点，画出平移后的五边形A'B'C'CE'，并求出顺次连接A、A'、E'、C、D、E、A各点所围成的图形的面积；

（3）在∠BAE和∠E'CD的内部取一点F，使∠EAF=∠EAB，∠FCE'=∠DCE' ，求∠AFC与∠AED之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠E+∠D=360°；（2）40；（3）∠AED=∠AFC－90°．

【解析】

（1）根据∠B、∠C的度数和多边形内角和公式即可得出结论；

（2）过E作EM⊥BC于M．由平移的性质可知：E′在EM上，四边形AA'E'E和四边形E'CDE是平行四边形，多边形AA'E'CDE的面积=四边形AA'E'E的面积+四边形E'CDE的面积，根据平行四边形的面积计算公式代入即可得出结论；

（3）过F作FM∥AB．设∠EAF=x，∠E'CF=y，根据平行线的性质可得：x－y=90°－∠AFC．由（1）得：∠AED=180°－3（x-y），代入即可得出结论．

（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，∠B=∠C=90°，∴∠A+∠E+∠D=540°－90°－90°=360°；

（2）作图如图1．过E作EM⊥BC于M．由平移的性质可知：E′在EM上，四边形AA'E'E和四边形E'CDE是平行四边形，∴AA'=EE'=DC=5，多边形AA'E'CDE的面积=四边形AA'E'E的面积+四边形E'CDE的面积=AA'×BM+DC×MC=DC×（BM+MC）=DC×BC=5×8=40．

（3）如图2，过F作FM∥AB．设∠EAF=x，∠E'CF=y，则∠FAB=2x，∠EAB=3x，∠FCD=2y，∠E'CD=3y．

∵FM∥AB，AB∥DC，∴∠FAB+∠AFM=180°，FM∥DC，∴∠MFC=∠FCD=2y，∴∠AFC=∠AFM+∠CFM=180°－2x+2y=180°－2（x－y），∴x－y==90°－∠AFC．

由（1）得：∠AED=360°－（∠EAB+∠EDC）=360°-（3x+180°－3y）=180°－3（x-y），∴∠AED=180°－3（90°－∠AFC）=∠AFC－90°．