Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB ≠ CD，BD = AC．

（1）求证：AD = BC；

（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．

 

Answer 1

证明：（1）做BM∥AC，BM交DC的延长线于点M，则∠ACD =∠BMD    …………1分

∵AB∥CD   BM∥AC 

∴四边形ABMC为平行四边形          …………………………………………………2分

∴AC = BM   

∵BD = AC    

∴BM = BD    

∴∠BDM = ∠BMD

∴∠BDC = ∠ACD

在△BDC和△ACD中

∴△BDC ≌ △ACD                ………………………………………………………4分

∴BC = AD    ……………………………………………………………………………5分

（2）连接EG、GF、FH、HE          …………………………………………………6分

∵E、H为AB、BD的中点     ∴

同理，，

∵BC = AD   ∴EG = FG = FH = EH      …………………………………………………8分

∴四边形EGFH为菱形

∴EF与GH互相垂直平分 ………………………………………………………………9分