Question

如图所示，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；

（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；

（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC²与DE²，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；

（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴，

解得，

故抛物线的函数解析式为y=x²﹣2x﹣3；

（2）令x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

则点C的坐标为（3，0），

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴点E坐标为（1，﹣4），

设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，

∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，

∵DC=DE，

∴m²+9=m²+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴点D的坐标为（0，﹣1）；

（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根据勾股定理，CD===，

在△COD和△DFE中，

∵，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC与CD是对应边时，

∵△DOC∽△PDC，

∴=，

即=，

解得DP=，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则==，

即==，

解得DG=1，PG=，

当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，

所以点P（﹣，0），

当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，

所以，点P（，﹣2）；

②OC与DP是对应边时，

∵△DOC∽△CDP，

∴=，

即=，

解得DP=3，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则==，

即==，

解得DG=9，PG=3，

当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，

所以，点P的坐标是（﹣3，8），

当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，

所以，点P的坐标是（3，﹣10），

综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．