Question

如图1，Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，点A、B分别在OC、OD上，且AB∥DC．将△OAB绕点O逆时针旋转，如图2，连接AC、BD，若OA=1，AD=

2

，AC=2，求∠DAO的度数及点A到OC的高．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：在如图①中，利用OC=OD，AB∥DC得到△OAB为等腰直角三角形，则OA=OB=1，AB=

2

OA=

2

，∠OAB=45°；在如图②中，由于∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，根据旋转的定义，可把△AOC绕点O逆时针旋转90°可得到△BOD，则BD=AC=2，则可根据勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，于是得到∠DAO=∠DAB+∠OAB=135°；作OH⊥DA于H，如图②，易得△AOH为等腰直角三角形，则AH=OH=

2

2

OA=

2

2

，再在Rt△ODH中，根据勾股定理计算出OD=

5

，所以OC=OD=

5

，然后利用S_△BDO+S_△DAO=S_△ABD+S_△OAB可计算出S_△BDO=1，则S_△OAC=1，最后根据三角形面积公式可求出点A到OC的高．

解答：解：如图①，∵Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵AB∥DC，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=1，AB=

2

OA=

2

，∠OAB=45°；
∵△OAB绕点O逆时针旋转，如图②，
∴∠AOB=∠COD=90°，
而OA=OB，OC=OD，
∴把△AOC绕点O逆时针旋转90°可得到△BOD，
∴BD=AC=2，
在△ABD中，∵AD=

2

，AB=

2

，BD=2，
∴AD²+AB²=BD²，
∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，
∴∠DAO=∠DAB+∠OAB=135°；
作OH⊥DA于H，如图②，
∵∠OAH=180°-∠DAO=45°，
∴△AOH为等腰直角三角形，
∴AH=OH=

2

2

OA=

2

2

，
在Rt△ODH中，∵OH=

2

2

，DH=DA+OH=

3 2

2

，
∴OD=

OH2+DH2

=

5

，
∴OC=OD=

5

，
∵S_△BDO+S_△DAO=S_△ABD+S_△OAB，
∴S_△BDO+

1

2

•

2

•

2

2

=

1

2

•

2

•

2

+

1

2

•1•1，
∴S_△BDO=1，
∵△OBD≌△OAC，
∴S_△OAC=1，
设点A到OC的高为h，则

1

2

•h•

5

=1，
解得h=

2 5

5

，
∴∠DAO的度数为135°，点A到OC的高为

2 5

5

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．